Teoria sygnałów

Twierdzenie o próbkowaniu

Sygnał ciągły o maksymalnej częstotliwości fm może być jednoznacznie odtworzony z próbek, jeśli częstość próbkowania fs spełnia warunek: fs≥2fm.

Maksymalna częstotliwość (f_m)

Najwyższa składowa harmoniczna (sinusoida) istniejąca w widmie sygnału. Wyznacza ona pasmo sygnału. Powyżej $f_m$ energia sygnału musi wynosić 0, aby uniknąć aliasingu i móc wiernie odtworzyć sygnał z próbek

Częstość Nyquista

to połowa tempa próbkowania, czyli fN=fs/2. Jest to graniczna częstotliwość sygnału, którą można poprawnie odtworzyć po dyskretyzacji.

Aliasing

Zjawisko nakładania się widm sygnałów podczas próbkowania zbyt niską częstotliwością – wysokie częstotliwości "udają" niższe i są nie do odróżnienia po próbkowaniu

Filtr antyaliasingowy

Dolnoprzepustowy filtr analogowy stosowany przed próbkowaniem, który usuwa składowe powyżej fs/2, aby zapobiec aliasingowi. Najczęściej używane są filtry Butterwortha lub Chebysheva, a ich dokładność zależy od rzędu filtra i częstotliwości odcięcia

Kwantyzacja (Istota)

Zamiana ciągłych wartości amplitudy na skończoną liczbę dyskretnych poziomów. Umożliwia zapis sygnału w formie binarnej (liczbowej). Odpowiada za rozdzielczość "pionową" sygnału cyfrowego.

Kwantyzacja równomierna

Stały odstęp (krok kwantyzacji) między poziomami. Najprostsza w realizacji technicznej (standardowe ADC). Każda wartość z przedziału dostaje tę samą wagę błędu.

Kwantyzacja nierównomierna

Zmienna szerokość kroków. Więcej poziomów dla małych amplitud, mniej dla dużych. Stosowana w audio/telefonii, by poprawić stosunek sygnału do szumu (SNR) dla cichych fragmentów.

Szum kwantyzacji

Nieunikniony błąd (różnica) między rzeczywistym napięciem a najbliższym dostępnym poziomem cyfrowym. Maleje wraz ze wzrostem liczby bitów przetwornika (np. z 8 na 16 bitów).

Próbkowanie krytyczne

Sytuacja, w której $f_s = 2f_m$. Jest to teoretyczna granica między poprawnym próbkowaniem a aliasingiem. W praktyce: Niestosowane, ponieważ grozi utratą sygnału (zależność od fazy) i wymaga fizycznie niemożliwych do zbudowania filtrów o pionowym zboczu.

STFT

Metoda analizy sygnałów niestacjonarnych. Polega na dzieleniu sygnału na krótkie segmenty za pomocą przesuwnego "okna" i obliczaniu transformaty Fouriera dla każdego z nich. Pozwala określić zmienność widma w czasie.

Szereg Fouriera (Definicja)

Sposób przedstawienia sygnału okresowego jako sumy składowej stałej oraz nieskończonego szeregu sinusoid i kosinusoid (harmonicznych) o częstotliwościach będących wielokrotnością częstotliwości podstawowej $f_0$.

Widmo sygnału okresowego

Widmo sygnału okresowego jest dyskretne (prążkowe). Oznacza to, że sygnał składa się wyłącznie z konkretnych, oddzielonych od siebie częstotliwości, a nie z ciągłego zakresu pasma.

Współczynnik a_0 (Składowa stała)

Średnia wartość sygnału w czasie jednego okresu. Graficznie: poziom, wokół którego oscyluje wykres. Jeśli pole nad osią równa się polu pod osią, a_0 wynosi zero.

Co liczą całki a_n i b_n?

Całki te mierzą stopień dopasowania (korelację) sygnału do funkcji cos i sin o częstotliwości $n\omega_0$. Wynik mówi nam, jaki jest udział danej harmonicznej w budowie całego kształtu fali.

Zera w układzie

Częstotliwości (zespolone), dla których transmitancja jest równa 0 (sygnał jest blokowany).

Delta Diraca – Definicja

Idealny impuls matematyczny (dystrybucja). Przyjmuje wartość 0 wszędzie poza punktem $x=0$, ale jej pole powierzchni (całka) wynosi dokładnie 1. Modeluje zjawiska punktowe i chwilowe bez opisywania ich wewnętrznej struktury.

Właściwości praktyczne

Sifting property: Najważniejsza cecha – mnożenie funkcji $f(t)$ przez deltę pod całką „wyciąga” wartość tej funkcji w punkcie wystąpienia impulsu. Pozwala to na matematyczne sformalizowanie procesu próbkowania sygnałów.

Co daje poszerzanie okna?

Skutek: Poprawa rozdzielczości częstotliwościowej (dokładniej rozróżniamy bliskie dźwięki). Koszt: Pogorszenie rozdzielczości czasowej (nie wiemy dokładnie, kiedy dźwięk się zaczął). Idealne do analizy sygnałów wolnozmiennych.

Co daje skracanie okna?

Skutek: Świetna rozdzielczość czasowa (precyzyjna lokalizacja nagłych zdarzeń/impulsów). Koszt: Słaba rozdzielczość częstotliwościowa (widmo jest „rozmyte”). Idealne do wykrywania szybkich zmian i transjentów w sygnale.

Jak działa STFT (Czas vs Częstotliwość)?

Mechanizm: Okno wycina fragment sygnału, a FT wyznacza jego widmo. Oś czasu pokazuje, kiedy fragment wystąpił, a oś częstotliwości (pionowa) pokazuje rozkład energii w tym fragmencie. Spektrogram łączy obie osie w jedną mapę.

Rozdzielczość na osiach

Zależność: Długość okna dyktuje precyzję obu osi. Dłuższe okno to gęstsza, dokładniejsza oś częstotliwości, ale "rozmyta" oś czasu. Krótsze okno to precyzyjna oś czasu, ale rzadka i mało dokładna oś częstotliwości.

Dla jakich sygnałów szereg fouriera się wykorzystuje

Warunek: Szereg Fouriera stosuje się tylko do sygnałów okresowych (powtarzających się w czasie). Sygnały nieokresowe (impulsowe, jednorazowe) wymagają użycia Transformaty Fouriera, a nie Szeregu

Warunki Dirichleta żeby można było użyć szeregu fouriera

Definicja: Aby sygnał okresowy można było rozwinąć w szereg, musi spełniać warunki Dirichleta: być całkowalny w okresie, mieć skończoną liczbę ekstremów i punktów nieciągłości. Większość sygnałów fizycznych te warunki spełnia.

Transformata Laplace’a – Definicja

Opis: Narzędzie przekształcające funkcję czasu x(t) w funkcję zmiennej zespolonej X(s). Ułatwia analizę układów liniowych poprzez zamianę trudnych równań różniczkowych na proste równania algebraiczne.

Kluczowe właściwości laplace'a

Cechy: Liniowość (suma sygnałów = suma transformat). Przesunięcie w czasie to mnożenie przez e^{-st0}. Najważniejsze: splot w czasie to zwykłe mnożenie transformat, a całkowanie to dzielenie przez s.

Laplace vs Fourier

Związek: Transformata Laplace’a to uogólnienie Fouriera. Jeśli w wzorze Laplace’a przyjmiemy, że część rzeczywista sigma=0 (czyli s = jw), otrzymamy klasyczną ciągłą transformatę Fouriera.

wzór laplace'a

L{f}(s) = całka od 0 do ∞ z f(t) * e^(-s*t) dt

Ciągła transformacja Fouriera

Opis: Przekształca sygnał z dziedziny czasu t do dziedziny częstotliwości f. Pozwala wyznaczyć widmo sygnałów nieokresowych. Wzór: X(f) = \int x(t) e^{-j2\pi ft} dt. Wynikiem jest funkcja ciągła, zazwyczaj zespolona.

Właściwości CTFT

Cechy: Liniowość, przesunięcie w czasie (zmiana fazy w widmie), skalowanie (zwężenie w czasie = poszerzenie widma). Kluczowa cecha: splot w czasie to mnożenie w częstotliwości.

Definicja splotu ciągłego

Splot x(t) i h(t) to funkcja y(t) będąca całką iloczynu jednego sygnału i przesuniętego, odwróconego drugiego sygnału. Opisuje matematycznie proces filtracji.

Mechanizm filtracji

Filtracja to "usuwanie" niepożądanych składowych częstotliwościowych. Zdolność ta wynika z faktu, że splot w czasie to mnożenie widm w częstotliwości.

Kluczowe właściwości splotu

Przemienność: x*h = h*x. 2. Rozdzielność: x*(h1+h2) = x*h1 + x*h2. 3. Łączność: (x*h1)*h2 = x*(h1*h2). 4. Element neutralny: splot sygnału z deltą Diraca delta(t) daje ten sam sygnał x(t).

Twierdzenie o splocie (podstawowe)

Splot w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu w dziedzinie częstotliwości. Dzięki temu skomplikowane całkowanie w czasie można zastąpić prostym mnożeniem widm.

Wykres Bodego (Amplituda)

Rysowany dla s=jw. Skala logarytmiczna. Oś Y to wzmocnienie w dB: 20*log|H(jw)|. Częstotliwość odcięcia to punkt spadku o 3dB (połowa mocy). Każdy biegun zmienia nachylenie o -20dB/dek, a zero o +20dB/dek.

Stabilnosc (Bode)

Stabilnosc (Bode) Uklad zamkniety jest stabilny, gdy dla ukladu otwartego: Zapas amplitudy: L = -A(w180) > 0 dB (wzmocnienie ponizej 0 dB dla fazy -180). Zapas fazy: f = 180 + f(w0dB) > 0 st. (faza powyzej -180 dla wzm 0 dB). Zapas musi byc dodatni

Iloczyn, norma, metryka

Iloczyn skalarny (calka iloczynu) mierzy podobienstwo sygnalow. Norma (pierwiastek z energii) to dlugosc wektora sygnalu. Metryka to miara odleglosci (bledu) miedzy dwoma sygnalami. Pozwala to na geometryczna interpretacje sygnalow analogowych.

Metodyka aproksymacji

Aproksymacja to przyblizenie sygnalu suma funkcji bazowych ze wspolczynnikami. Cel: minimalizacja bledu sredniokwadratowego. W bazie ortogonalnej wspolczynniki liczy sie latwo jako iloczyn skalarny sygnalu z dana funkcja bazy.

Przykladowe bazy

Baza Fouriera: sinusy i cosinusy (analiza czestotliwosci). Falki (Wavelets): analiza czasu i czestotliwosci, kompresja. Wielomiany ortogonalne (Legendre'a, Czebyszewa): numeryczne dopasowanie krzywych. Wybor bazy zalezy od celu analizy.